主理想的组成

在韩士安和林磊编著的国家理科基地教材《近世代数》“理想与商环”这一节的定理3.3.3中说：设$R$是环，$a\in R$,则

$\displaystyle\langle a\rangle=\left\{\sum_{i=1}^nx_iay_i+xa+ay+ma|x_i,y_i,x,y\in R,n\in\mathbb{N},m\in\mathbb{Z}\right \}$

这其实是不恰当的表示.

恰当的表示应当是

$\displaystyle\langle a\rangle=RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$

这是因为在(1)中，使用了符号$\displaystyle\sum_{i=1}^n$.使用这个符号就意味着是有限个或者是可列个.而实际上，$R$中元素可能是无限的甚至是不可列的.

现在把注意力集中在(2)上，我们来证明为什么(2)成立.

首先$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$是$R$中一个包含$a$的理想.

“包含$a$”是因为$0a0+0a+a0+1a=a$.“是理想”是因为$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$中的任何一个元素与$R$中的任何一个元素作用之后仍在在$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$中(这是因为所有形如$x_iay_i,xa,ay,ma$的都属于$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$,所以把形如以上四种形式的若干个元素相加仍会属于$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$)

而且，

 $\displaystyle RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$是任何包含$a$的理想的子集

这是因为任何属于$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$的元素都会属于包含$a$的理想，而这一点是容易证明的.

所以，$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$是包含$a$的最小理想.所以$RaR+Ra+aR+\mathbb{Z}a$是包含$a$的所有理想的交集.

a prime element of the integral domain is irreducible

Let $a$ be a prime element of the integral domain R.Then $a$ is irreducible.
Proof:$a$ is a prime element of the intergral domain R,which means that $a$ is not a unit,nor it is 0,and $\forall p,q\in R$,if $ac=pq$,then $\exists c_1\in R$ such that $ac_1=p$ or $ac_1=q$.Now let $c$ be 1.If $a$ is reducible,which means that $a=mn$(m,n are not units),then $a1=mn$,so $ac_1=m$ or $ac_1=n$.For example,if $ac_1=m$,then $ac_1n=a$,so $c_1n=1$,which means that $n$ is a unit.This is a contradiction.