商环乘法定义的合理性

$I$是环$R$的理想，我们知道$I$是$R$的关于加法的正规子群.那么我们已经把环$R$分成关于$I$的加法商群了.但是我们知道$R$还有一种乘法运算,我们现在在商群上定义乘法运算.令

$$(t+I)(b+I)=tb+I$$

我们现在验证定义合理性：令$t'$和$t$位于$I$的同一个左陪集.下证

$$(t'+I)(b+I)=t'b+I=tb+I$$

即证，

$$\forall i\in I,\exists i'\in I,\mbox{使得}tb+i=t'b+i'$$(实际上，这一条式子只是证明了$tb+I\subseteq t'b+I$.我们还要证明另一半$t'b+I\subseteq tb+I$之后才能证明$tb+I=t'b+I$.但是由于这另一半的证明和(1)的证明类似，所以略去.下同.)

即证$\forall i\in I,\exists i'\in I$,使得$(t-t')b+i=i'$.我们知道，$t$和$t'$位于$I$的同一个左陪集意味着$t-t'\in I$,所以$(t-t')b\in I$,所以$(t-t')b+i\in I$.

同样，当$b'$和$b$位于$I$的同一个左陪集的时候，验证定义

$$(t+I)(b'+I)=tb'+I=tb+I$$

的合理性.

即证,

$$\forall i\in I,\exists i'\in I,\mbox{使得}tb+i=tb'+i'    (2)$$

即证$\forall i\in I,都\exists i'\in I$,使得$t(b-b')+i=i'$.我们知道$b-b'\in I$,所以$t(b-b')+i\in I$.

以上的证明实际上只证了

$$\mbox{当}b\mbox{固定时，}t+I\mbox{被}t'+I\mbox{替换后相乘结果是一样的}$$

和

$$\mbox{当}t\mbox{固定时，}b+I\mbox{被}b'+I\mbox{代替后相乘结果是一样的}$$

实际上只用(3)和(4)就可以证明当$t$被$t'$代替，$b$被$b'$代替之后效果是一样的.这是因为我们可以这样:

先保持$b$固定，$t$被$t'$代替后我们知道相乘结果不变.然后再把$b$换成$b'$我们知道相乘结果照样不变.两种变换复合一下就知道$t$被$t'$代替，同时$b$被$b'$代替后效果不变.

评论:由上面的论证过程的红色部分我们也可以看到，在理想的定义中，$\forall a\in R,b\in I,ab,ba\in I$的重要性.