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2012年1月6日星期五

商环乘法定义的合理性


I是环R的理想,我们知道IR的关于加法的正规子群.那么我们已经把环R分成关于I的加法商群了.但是我们知道R还有一种乘法运算,我们现在在商群上定义乘法运算.令
(t+I)(b+I)=tb+I
我们现在验证定义合理性:令tt位于I的同一个左陪集.下证
(t+I)(b+I)=tb+I=tb+I
即证,
iI,iI,使得tb+i=tb+i(实际上,这一条式子只是证明了tb+Itb+I.我们还要证明另一半tb+Itb+I之后才能证明tb+I=tb+I.但是由于这另一半的证明和(1)的证明类似,所以略去.下同.)

即证iI,iI,使得(tt)b+i=i.我们知道,tt位于I的同一个左陪集意味着ttI,所以(tt)bI,所以(tt)b+iI.


同样,当bb位于I的同一个左陪集的时候,验证定义
(t+I)(b+I)=tb+I=tb+I
的合理性.
即证,
iI,iI,使得tb+i=tb+i(2)
即证iI,iI,使得t(bb)+i=i.我们知道bbI,所以t(bb)+iI.
以上的证明实际上只证了
b固定时,t+It+I替换后相乘结果是一样的
t固定时,b+Ib+I代替后相乘结果是一样的
实际上只用(3)和(4)就可以证明当tt代替,bb代替之后效果是一样的.这是因为我们可以这样:

先保持b固定,tt代替后我们知道相乘结果不变.然后再把b换成b我们知道相乘结果照样不变.两种变换复合一下就知道tt代替,同时bb代替后效果不变.

评论:由上面的论证过程的红色部分我们也可以看到,在理想的定义中,aR,bI,ab,baI的重要性.

2012年1月4日星期三

正规子群,商群和群同态基本定理


给定群G,以及G的正规子群H.S={aH|aG}H的所有左陪集的集合.我们知道,这些左陪集互不相交(我想有必要详述这一点,用来复习:(1)如果两个元素k1k2位于同一个左陪集当且仅当k1H=k2H.这是因为k1=ah1,k2=ah2(h1,h2H).k1H=(ah1)H=a(h1H)=aH,同理,k2H=aH.(2)如果两个元素k1k2位于不同的左陪集,那么这两个左陪集将不相交.否则,若两个左陪集相交,设k3是公共元素,则k1H=k3H=k2H,则根据(1),k1k2将位于同一个左陪集,矛盾)且它们构成群G.S实际上就是群G的商集合.下面我们在S上定义一种运算,也就是说,我们要构造从S×SS的函数f,f(aH,bH)=abH.容易证明,在这种运算下,S形成了一个群.不过我们首先要验证运算f的定义合理性:

固定bH,ta位于同一个陪集时,我们容易得到tH=aH.abH=a(bH)=a(Hb)=(aH)b=(tH)b=t(Hb)=t(bH)=tbH.

固定aH,kb位于同一个陪集时,t=bh,hH我们容易得到atH=abhH=abH.

其实,比方说,固定bH,f就可以看成aHabH的映射.这是一个被诱导出来的映射(Kostrikin的《代数学基础》中等价关系和商映射的那一节)

G到群H有一个满同态ϕ.S={kG|f(k)=e},则易得S是交换群,所以是正规子群.如果S中只有一个元素e,ϕ是同构.(这是因为,如果在这种情况下,ϕ不是单射,那么存在x1,x2G,x1x2,我们有f(x1)=f(x2)=h.f(x11)=h1,所以f(x11)f(x2)=e,所以f(x11x2)=e,所以x11x2=e,所以x1=x2,矛盾.)如果S中不止一个元素,则ϕ显然不是同构.

现在我们构造一种对应gg是从S的左陪集到H的映射.g(vS)=f(v)(vG).g(v1Sv2S)=g(v1v2S)=f(v1v2).我们先证明这种定义是合理的,即在这种定义下,一个确定的左陪集被映射到一个唯一的H中的元素:设这个确定的左陪集是vmS,那么这个左陪集对应于f(vm).vnS=vmS,现在证明f(vn)=f(vm).即证v1nvmS.这是显然的.现在证明g是单射.我们发现,当g(v1S)=g(v2S)时,即f(v1)=f(v2),从前面的分析可知f(v11v2)=e.v11v2S, v2v1S,v1,v2在同一个S的左陪集里面,可见,v1Sv2S是相同的.所以g是双射..

2012年1月3日星期二

证明斯笃兹定理


无限递增数列b0,b1,...,bn,与数列a0,a1,an,其中limnbn=而且limnanan1bnbn1存在(有限或无穷),则

limnanbn=limnanan1bnbn1
把数列

a0,a1a0,a2a1,a3a2,...anan1,

记为

x0,x1,x2,x3,,xn,

把数列

b0,b1b0,b2b1,b3b2,bnbn1,

记为

y0,y1,y2,y3,...yn,

则斯笃兹定理可以改写为:无限数列x0,x1,x2,x3,,xn,与从第二项开始各项为正的数列(第一项随便)y0,y1,y2,y3,,yn,,其中i=0yi=,且limnxnyn存在(有限或无限).则

limnx0+x1+...xny0+y1+...yn=limnxnyn

这样子变换一下,斯笃兹定理就显得直观.不过仍旧需要严格的论证.

limnxnyn存在且有限时,设为L.则对于任意给定的正实数ε,都存在正整数N,当nN时都有|xnynL|<ε我们可以放心地把limnx0+x1+...xny0+y1+...yn(不管该极限存在与否)改写成limnxN+xN+1+...xnyN+yN+1+...yn,这是因为i=0yi=,删去limnx0+x1+...xny0+y1+...yn中的y0,y1,...yN1\\与x0,x1,...xN1不会影响极限计算结果.如果你一定要又无聊又简单的详细过程的话,你就去写出来吧.



下面我们看看xN+xN+1+...+xnyN+yN+1+...+yn的几何意义:
Ai=(yi,xi)(i=N,N+1,...n),则xN+xN+1+...+xnyN+yN+1+...+yn的几何意义是B=A1+A2+...+An所在直线的斜率.
而且Ai=(yi,xi)(i=N,N+1,...n)的斜率通通限制在区间(L-ε,L+ε)之间.
想想直观图景:
一束束代表着向量的线段全都被束缚在区间(Lε,L+ε)内,
最上面的虚线代表斜率为L+ε的向量,最下面的虚线代表着斜率为Lε的向量.
下面看向量B,B的斜率我们采用数学归纳法(其实明眼人一眼就看得出来)易得仍在区间(Lε,L+ε)内.
这样,我们就证完了斯笃兹定理当limnxnyn为有限数时的情形.


对于limnxnyn为无限数时的情形,也就是L=时,其实
那一束束直线是紧密围绕在y轴附近的,按照以上一样的方法也可以很容易证明.

利用斯笃兹定理证明一种类型的洛必达法则


已知limxg(x)=,而且limnf(x)g(x)=L或者limnf(x)g(x)是无限.而且存在正实数K,当a>K时,都有g(a)0而且保证f(a)g(a)的可导,则limxf(x)g(x)=limxf(x)g(x)



证明:当limnf(x)g(x)有限时,在区间(K,+)上取间隔为1的点:x1<x2<x3<,这些点对应的函数值分别为f(x1),f(x2),g(x1),g(x2),

因为limnf(x)g(x)=L,即对于任意给定的正实数ε,都存在相应的正实数M,对于一切x>M都有

|f(x)g(x)L|<ε1

我们知道,必定存在正整数P,使得xP,xP+1,xP+2,都大于M.现在要证的是:对于任意一个大于或等于P的正整数N,都有

|f(xN+1)f(xN)g(xN+1)g(xN)L|<ε2


这是因为根据柯西中值定理,必定有t(xN,xN+1),使得f(t)g(t)=f(xN+1)f(xN)g(xN+1)g(xN),再结合(1)得证(2).
可见,limnf(xn+1)f(xn)g(xn+1)g(xn)=L.由于当a>K时,g(a)0,且g(a)可导,根据导函数的连续性(达布定理),g(a)恒大于0或者恒小于0.那么我们很容易得出数列g(xN),g(xN+1),是单调的,那么我们现在就可以使用斯笃兹定理.由斯笃兹定理,limnf(xn)g(xn)=L
证到这一步就可以推出limxf(x)g(x)=L了.因为我并没有规定x1,x2,...必须为整数,只是它们的间隔必须为1而已,若存在给定的正实数Δ,对于任意的正实数K都存在实数m>K,使得|f(m)g(m)L|>Δ,那么我可以在距离m很近的地方设置一个xi,因为易证f(x)g(x)x很大的时候肯定是一个连续函数,那么f(m)g(m)f(xi)g(xi)也会很近,可以达到想多近就有多近的程度.这就与|f(m)g(m)L|>Δ矛盾.

对于limxf(x)g(x)是无限的情况,留待以后.

2012年1月1日星期日

循环群的子群是循环群

命题:循环群的子群是循环群
证明:m阶循环群都与(Zm,+)(m1)同构,无限阶循环群都与(Z,+)同构,所以我们只要讨论(Zm,+)(Z,+)就足够了.
对于(Zm,+)来说,当m=1时,(Zm,+)=(0,+),其子群就是({0},+),当然是循环群.当m>1时,设循环群的某一子群Hk个元素,分别为a(1)1,,a(1)k.从这k个元素里取出两个相邻元素a(1)i,a(1)i+1,求它们的最大公因数a(2)i,一共有k1种取法,得到k1个最大公因数a(2)1,,a(2)k1.我们有1ik1,a(2)iH.(这是因为根据贝祖定理,x,yZ,使得xa(1)i+ya(1)i+1=a(2)i).
然后我们把a(2)1,,a(2)k1进行同样的处理,得到a(3)1,,a(3)k2.这样子一直继续下去,最终我们会得到一个a(k)1.如果a(k)1=1,则H=Zm.否则,H是由a(k)1生成的循环群.

对于(Z,+)来说,论证和(Zm,+)类似.若(Z,+)的子群是({0},+),则显然这个子群是循环群.若这个子群里的元素多于一个,则按从小到大排列a(1)1,,a(1)k,
取相邻两个数的最大公约数,我们得到另一列数a(2)1,,a(1)k1这样子一直进行下去.我们知道,a(1)1a(2)1a(t)1
则容易得到a(1)1,a(2)1,,a(t)1这个无限数列中,必定只有有限个数不同,除了这有限个不同的数外,其余的数都相同.那么,我们容易得到,所有的数其实都是某一个数的倍数.这个数就是H的生成元,所以H是循环群.

2011年12月31日星期六

主理想的组成

在韩士安和林磊编著的国家理科基地教材《近世代数》“理想与商环”这一节的定理3.3.3中说:设R是环,aR,则

a={ni=1xiayi+xa+ay+ma|xi,yi,x,yR,nN,mZ}

这其实是不恰当的表示.
恰当的表示应当是

a=RaR+Ra+aR+Za

这是因为在(1)中,使用了符号ni=1.使用这个符号就意味着是有限个或者是可列个.而实际上,R中元素可能是无限的甚至是不可列的.
现在把注意力集中在(2)上,我们来证明为什么(2)成立.

首先RaR+Ra+aR+ZaR中一个包含a的理想.

“包含a”是因为0a0+0a+a0+1a=a.“是理想”是因为RaR+Ra+aR+Za中的任何一个元素与R中的任何一个元素作用之后仍在在RaR+Ra+aR+Za中(这是因为所有形如xiayi,xa,ay,ma的都属于RaR+Ra+aR+Za,所以把形如以上四种形式的若干个元素相加仍会属于RaR+Ra+aR+Za)
而且,

 RaR+Ra+aR+Za是任何包含a的理想的子集

这是因为任何属于RaR+Ra+aR+Za的元素都会属于包含a的理想,而这一点是容易证明的.
所以,RaR+Ra+aR+Za是包含a的最小理想.所以RaR+Ra+aR+Za是包含a的所有理想的交集.


2011年12月30日星期五

a prime element of the integral domain is irreducible

Let a be a prime element of the integral domain R.Then a is irreducible.
Proof:a is a prime element of the intergral domain R,which means that a is not a unit,nor it is 0,and p,qR,if ac=pq,then c1R such that ac1=p or ac1=q.Now let c be 1.If a is reducible,which means that a=mn(m,n are not units),then a1=mn,so ac1=m or ac1=n.For example,if ac1=m,then ac1n=a,so c1n=1,which means that n is a unit.This is a contradiction.