证明斯笃兹定理

无限递增数列$b_0,b_1,...,b_n,\cdots$与数列$a_0,a_1,\cdots，a_n,\cdots$其中$\lim_{n\to\infty}b_n=\infty$而且$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$存在(有限或无穷),则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}$$

把数列

$$a_0,a_1-a_0,a_2-a_1,a_3-a_2,...a_n-a_{n-1},\cdots$$

记为

$$x_0,x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots$$

把数列

$$b_0,b_1-b_0,b_2-b_1,b_3-b_2,\cdots b_n-b_{n-1},\cdots$$

记为

$$y_0,y_1,y_2,y_3,...，y_n,\cdots$$

则斯笃兹定理可以改写为：无限数列$x_0,x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n,\cdots$与从第二项开始各项为正的数列(第一项随便)$y_0,y_1,y_2,y_3,\cdots,y_n,\cdots$,其中$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty y_i=\infty$,且$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$存在（有限或无限）.则

$$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+...x_n}{y_0+y_1+...y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$$

这样子变换一下，斯笃兹定理就显得直观.不过仍旧需要严格的论证.

当$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$存在且有限时，设为$L$.则对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在正整数$N$,当$n\geq N$时都有$|\frac{x_n}{y_n}-L|<\varepsilon$我们可以放心地把$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+...x_n}{y_0+y_1+...y_n}$(不管该极限存在与否)改写成$\lim_{n\to\infty}\frac{x_N+x_{N+1}+...x_n}{y_N+y_{N+1}+...y_n}$，这是因为$\displaystyle\sum_{i=0}^\infty y_i=\infty$,删去$\lim_{n\to\infty}\frac{x_0+x_1+...x_n}{y_0+y_1+...y_n}$中的$y_0,y_1,...y_{N-1}$\\与$x_0,x_1,...x_{N-1}$不会影响极限计算结果.如果你一定要又无聊又简单的详细过程的话，你就去写出来吧.

下面我们看看$\frac{x_N+x_{N+1}+...+x_n}{y_N+y_{N+1}+...+y_n}$的几何意义：

设$\overrightarrow{A_i}=(y_i,x_i)(i=N,N+1,...n)$,则$\frac{x_N+x_{N+1}+...+x_n}{y_N+y_{N+1}+...+y_n}$的几何意义是$\overrightarrow{B}=\overrightarrow{A_1}+\overrightarrow{A_2}+...+\overrightarrow{A_n}$所在直线的斜率.

而且$\overrightarrow{A_i}=(y_i,x_i)(i=N,N+1,...n)$的斜率通通限制在区间(L-$\varepsilon$,L+$\varepsilon)$之间.

想想直观图景：

一束束代表着向量的线段全都被束缚在区间$(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$内，

最上面的虚线代表斜率为$L+\varepsilon$的向量，最下面的虚线代表着斜率为$L-\varepsilon$的向量.

下面看向量$\overrightarrow{B}$,$\overrightarrow{B}$的斜率我们采用数学归纳法（其实明眼人一眼就看得出来）易得仍在区间$(L-\varepsilon,L+\varepsilon)$内.

这样，我们就证完了斯笃兹定理当$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$为有限数时的情形.

对于$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}$为无限数时的情形，也就是$L=\infty$时，其实

那一束束直线是紧密围绕在$y$轴附近的，按照以上一样的方法也可以很容易证明.$\Box$