I是环R的理想，我们知道I是R的关于加法的正规子群.那么我们已经把环R分成关于I的加法商群了.但是我们知道R还有一种乘法运算,我们现在在商群上定义乘法运算.令
(t+I)(b+I)=tb+I
我们现在验证定义合理性：令t′和t位于I的同一个左陪集.下证
(t′+I)(b+I)=t′b+I=tb+I
即证，
∀i∈I,∃i′∈I,使得tb+i=t′b+i′(实际上，这一条式子只是证明了tb+I⊆t′b+I.我们还要证明另一半t′b+I⊆tb+I之后才能证明tb+I=t′b+I.但是由于这另一半的证明和(1)的证明类似，所以略去.下同.)
即证∀i∈I,∃i′∈I,使得(t−t′)b+i=i′.我们知道，t和t′位于I的同一个左陪集意味着t−t′∈I,所以(t−t′)b∈I,所以(t−t′)b+i∈I.
同样，当b′和b位于I的同一个左陪集的时候，验证定义
(t+I)(b′+I)=tb′+I=tb+I
的合理性.
即证,
∀i∈I,∃i′∈I,使得tb+i=tb′+i′(2)
即证∀i∈I,都∃i′∈I,使得t(b−b′)+i=i′.我们知道b−b′∈I,所以t(b−b′)+i∈I.
以上的证明实际上只证了
当b固定时，t+I被t′+I替换后相乘结果是一样的
和
当t固定时，b+I被b′+I代替后相乘结果是一样的
实际上只用(3)和(4)就可以证明当t被t′代替，b被b′代替之后效果是一样的.这是因为我们可以这样:
先保持b固定，t被t′代替后我们知道相乘结果不变.然后再把b换成b′我们知道相乘结果照样不变.两种变换复合一下就知道t被t′代替，同时b被b′代替后效果不变.
评论:由上面的论证过程的红色部分我们也可以看到，在理想的定义中，∀a∈R,b∈I,ab,ba∈I的重要性.
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