循环群的子群是循环群

命题：循环群的子群是循环群

证明：$m$阶循环群都与$(\mathbb{Z}_m,+)(m\geq 1)$同构，无限阶循环群都与$(\mathbb{Z},+)$同构，所以我们只要讨论$(\mathbb{Z}_m,+)$和$(\mathbb{Z},+)$就足够了.

对于$(\mathbb{Z}_m,+)$来说，当$m=1$时，$(\mathbb{Z}_m,+)=(0,+)$,其子群就是$(\{0\},+)$,当然是循环群.当$m>1$时，设循环群的某一子群$H$有$k$个元素，分别为$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)}$.从这$k$个元素里取出两个相邻元素$a_i^{(1)},a_{i+1}^{(1)}$，求它们的最大公因数$a_i^{(2)}$,一共有$k-1$种取法,得到$k-1$个最大公因数$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$.我们有$\forall 1\leq i\leq k-1,a_i^{(2)}\in H$.(这是因为根据贝祖定理，$\exists x,y\in \mathbb{Z}$,使得$xa_i^{(1)}+ya_{i+1}^{(1)}=a_i^{(2)}$).

然后我们把$a_1^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(2)}$进行同样的处理，得到$a_1^{(3)},\cdots,a_{k-2}^{(3)}$.这样子一直继续下去,最终我们会得到一个$a_1^{(k)}$.如果$a_1^{(k)}=1$,则$H=Z_m$.否则，$H$是由$a_1^{(k)}$生成的循环群.

对于$(\mathbb{Z},+)$来说，论证和$(\mathbb{Z}_m,+)$类似.若$(\mathbb{Z},+)$的子群是$(\{0\},+)$,则显然这个子群是循环群.若这个子群里的元素多于一个，则按从小到大排列$a_{1}^{(1)},\cdots,a_{k}^{(1)},\cdots$
取相邻两个数的最大公约数，我们得到另一列数$a_{1}^{(2)},\cdots,a_{k-1}^{(1)}\cdots$这样子一直进行下去.我们知道，$a_{1}^{(1)}\geq a_{1}^{(2)}\geq \cdots\geq a_{1}^{(t)}\geq \cdots$

则容易得到$a_{1}^{(1)}, a_{1}^{(2)}, \cdots, a_{1}^{(t)} \cdots$这个无限数列中，必定只有有限个数不同,除了这有限个不同的数外，其余的数都相同.那么，我们容易得到，所有的数其实都是某一个数的倍数.这个数就是$H$的生成元，所以$H$是循环群.