利用斯笃兹定理证明一种类型的洛必达法则

已知$\displaystyle\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$,而且$\lim_{n\to\infty}\frac {f'(x)}{g'(x)}=L$或者$\lim_{n\to\infty}\frac {f'(x)}{g'(x)}$是无限.而且存在正实数$K$,当$a>K$时，都有$g'(a)\neq 0$而且保证$f(a)$与$g(a)$的可导,则$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

证明：当$\lim_{n\to\infty}\frac {f'(x)}{g'(x)}$有限时,在区间$(K,+\infty)$上取间隔为1的点:$x_1<x_2<x_3<\cdots$,这些点对应的函数值分别为$f(x_1),f(x_2),\cdots$和$g(x_1),g(x_2),\cdots$

因为$\lim_{n\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=L$,即对于任意给定的正实数$\varepsilon$,都存在相应的正实数$M$,对于一切$x>M$都有

$$\displaystyle |\frac{f'(x)}{g'(x)}-L|<\varepsilon                     （1）$$

我们知道，必定存在正整数$P$,使得$x_P,x_{P+1},x_{P+2},\cdots$都大于$M$.现在要证的是：对于任意一个大于或等于$P$的正整数$N$,都有

$$\displaystyle |\frac{f(x_{N+1})-f(x_N)}{g(x_{N+1})-g(x_N)}-L|<\varepsilon（2）$$

这是因为根据柯西中值定理，必定有$t\in(x_N,x_{N+1})$,使得$\frac{f'(t)}{g'(t)}=\frac{f(x_{N+1})-f(x_N)}{g(x_{N+1})-g(x_N)}$,再结合（1）得证(2).

可见，$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_{n+1})-f(x_n)}{g(x_{n+1})-g(x_n)}=L$.由于当$a>K$时，$g'(a)\neq 0$,且$g'(a)$可导，根据导函数的连续性(达布定理)，$g'(a)$恒大于0或者恒小于0.那么我们很容易得出数列$g(x_N),g(x_{N+1}),\cdots$是单调的,那么我们现在就可以使用斯笃兹定理.由斯笃兹定理，$\lim_{n\to\infty}\frac{f(x_n)}{g(x_n)}=L$

证到这一步就可以推出$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L$了.因为我并没有规定$x_1,x_2,...$必须为整数，只是它们的间隔必须为1而已，若存在给定的正实数$\Delta$,对于任意的正实数$K$都存在实数$m>K$,使得$|\frac{f(m)}{g(m)}-L|>\Delta$,那么我可以在距离$m$很近的地方设置一个$x_i$,因为易证$\frac{f(x)}{g(x)}$在$x$很大的时候肯定是一个连续函数，那么$\frac{f(m)}{g(m)}$与$\frac{f(x_i)}{g(x_i)}$也会很近，可以达到想多近就有多近的程度.这就与$|\frac{f(m)}{g(m)}-L|>\Delta$矛盾.

对于$\lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$是无限的情况，留待以后.