正规子群，商群和群同态基本定理

给定群$G$,以及$G$的正规子群$H$.$S=\{aH|\forall a\in G\}$是$H$的所有左陪集的集合.我们知道，这些左陪集互不相交（我想有必要详述这一点，用来复习：(1)如果两个元素$k_1$和$k_2$位于同一个左陪集当且仅当$k_1H=k_2H$.这是因为$k_1=ah_1$,$k_2=ah_2(h_1,h_2\in H)$.$k_1H=(ah_1)H=a(h_1H)=aH$，同理，$k_2H=aH$.(2)如果两个元素$k_1$和$k_2$位于不同的左陪集，那么这两个左陪集将不相交.否则，若两个左陪集相交，设$k_3$是公共元素，则$k_1H=k_3H=k_2H$,则根据(1),$k_1$和$k_2$将位于同一个左陪集，矛盾)且它们构成群$G$.$S$实际上就是群$G$的商集合.下面我们在$S$上定义一种运算，也就是说，我们要构造从$S\times S$到$S$的函数$f$,$f(aH,bH)=abH$.容易证明，在这种运算下，$S$形成了一个群.不过我们首先要验证运算$f$的定义合理性：

固定$bH$,当$t$与$a$位于同一个陪集时，我们容易得到$tH=aH$.$abH=a(bH)=a(Hb)=(aH)b=(tH)b=t(Hb)=t(bH)=tbH$.

固定$aH$,当$k$与$b$位于同一个陪集时，$t=bh,h\in H$我们容易得到$atH=abhH=abH$.$\Box$

其实，比方说，固定$bH$,$f$就可以看成$aH$到$abH$的映射.这是一个被诱导出来的映射(见Kostrikin的《代数学基础》中等价关系和商映射的那一节)

群$G$到群$H$有一个满同态$\phi$.令$S=\{k\in G|f(k)=e\}$,则易得$S$是交换群，所以是正规子群.如果$S$中只有一个元素$e$,则$\phi$是同构.(这是因为，如果在这种情况下，$\phi$不是单射，那么存在$x_1,x_2\in G,x_1\neq x_2$,我们有$f(x_1)=f(x_2)=h$.则$f(x_1^{-1})=h^{-1}$，所以$f(x_1^{-1})f(x_2)=e$,所以$f(x_1^{-1}x_2)=e$,所以$x_1^{-1}x_2=e$,所以$x_1=x_2$,矛盾.)如果$S$中不止一个元素，则$\phi$显然不是同构.

现在我们构造一种对应$g$，$g$是从$S$的左陪集到$H$的映射.让$g(vS)=f(v)(v\in G)$.$g(v_1Sv_2S)=g(v_1v_2S)=f(v_1v_2)$.我们先证明这种定义是合理的，即在这种定义下，一个确定的左陪集被映射到一个唯一的$H$中的元素：设这个确定的左陪集是$v_mS$,那么这个左陪集对应于$f(v_m)$.若$v_nS=v_mS$,现在证明$f(v_n)=f(v_m)$.即证$v_n^{-1}v_m\in S$.这是显然的.现在证明$g$是单射.我们发现，当$g(v_1S)=g(v_2S)$时，即$f(v_1)=f(v_2)$,从前面的分析可知$f(v_1^{-1}v_2)=e$.即$v_1^{-1}v_2\in S$, 即$v_2\in v_1S$,即$v_1,v_2$在同一个$S$的左陪集里面，可见，$v_1S$与$v_2S$是相同的.所以$g$是双射.$\Box$.